Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    52
    Bài viết
    2
    Cám ơn (Đã nhận)
    0


    Nhờ Thầy, Cô và các bạn giải dùm bài bất đẳng thức

    Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
    $\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{3} \ge \frac{8}{9}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)$

  2. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    619
    \begin{align*}
    &\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{3} \ge \frac{8}{9}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right) \\
    \iff &\left (\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}}-1\right ) \ge \frac{8}{9}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}}-\frac32 \right)\\
    \iff &\frac{\sum(a-b)^2}{2\sum ab}\ge\frac89\sum\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)}\\
    \iff&\sum\left (\frac{1}{2\sum ab}-\frac8{18(b+c)(c+a)}\right )(a-b)^2 \ge0
    \end{align*}
    BDT cuối đúng do, chẳng hạn
    \begin{align*}
    18(b+c)(c+a)-16\sum ab>0.
    \end{align*}

  3. Cám ơn  $T_G$, khanhsy, kuibapkientuong, Tinpee PT đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Trích dẫn Gửi bởi kuibapkientuong Xem bài viết
    Nhờ Thầy, Cô và các bạn giải dùm bài bất đẳng thức

    Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:
    $\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{ab + bc + ca}} + \frac{1}{3} \ge \frac{8}{9}\left( {\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}} \right)$
    Ta có
    $$\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{1}{ab+bc+ca}\left( a^2+\dfrac{abc}{b+c} \right)\le \dfrac{1}{ab+bc+ca}\left( a^2+\dfrac{a(b+c)}{4} \right)$$
    Do đó ta cần chứng minh
    $$3(a^2+b^2+c^2)+ab+bc+ca\ge \dfrac{8}{3} \left(a^2+b^2+c^2+\dfrac{ab+bc+ca}{2} \right)$$
    Rút gọn ta được
    $$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$$
    Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán chứng minh xong.
    Sửa lần cuối bởi khanhsy; 18/09/14 lúc 09:42 AM.

  5. Cám ơn  $T_G$, kuibapkientuong, Tinpee PT đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    52
    Bài viết
    2
    Cám ơn (Đã nhận)
    0
    Rất cảm ơn

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này