Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29

  2. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi khotam Xem bài viết
    Bài : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng
    \[xy+yz+zx\ge 3+\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\sqrt{{{z} ^{2}}+1}\]
    Hướng dẫn:

    Chú ý $yz-1= \dfrac{y+z}{x}$ và $\sqrt{1+x^2}= \sqrt{\dfrac{x+y}{z}\cdot \dfrac{x+z}{y}}$.
    Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
    $$\dfrac{y+z}{x}+ \dfrac{x+z}{y}+ \dfrac{x+y}{z}\ge \sqrt{\dfrac{x+y}{z}\cdot \dfrac{x+z}{y}}+ \sqrt{\dfrac{y+z}{x}\cdot \dfrac{x+z}{y}}+ \sqrt{\dfrac{x+y}{z}\cdot \dfrac{y+z}{x}}$$
    Bất đẳng thức cuối có dạng $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$.

  4. Cám ơn Tran Le Quyen, khanhsy, khotam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    28
    Cám ơn (Đã nhận)
    29
    Trích dẫn Gửi bởi khotam Xem bài viết
    Bài : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng
    \[xy+yz+zx\ge 3+\sqrt{{{x}^{2}}+1}+\sqrt{{{y}^{2}}+1}+\sqrt{{{z} ^{2}}+1}\]
    Do $x,y,z>0$ và thỏa mãn $x+y+z=xyz$ nên tồn tại một tam giác ABC với 3 góc nhọn thỏa mãn
    $\begin{cases} \tan A =x \\ \tan B =y \\ \tan C= z \end{cases}$
    Khi bài toán đã cho được phát biểu thành :
    • Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng $\tan A .\tan B +\tan B.\tan C +\tan C.\tan A \geq 3 +\dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}+\dfrac{1}{\cos C}$


    Chứng minh :
    BDT tương đương $\tan A .\tan B -1+\tan B.\tan C -1 +\tan C.\tan A -1 \geq \dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{1}{\cos B}+\dfrac{1}{\cos C}$
    $\Leftrightarrow \dfrac{\sin A.\sin B -\cos A.\cos B}{\cos A.\cos B}+\dfrac{\sin B.\sin C -\cos B.\cos C}{\cos B.\cos C}+\dfrac{\sin C.\sin A -\cos C.\cos A}{\cos C.\cos A} $
    $\geq \dfrac{\cos A.\cos B +\cos B.\cos C+\cos C.\cos A}{\cos A.\cos B.\cos C}$
    $\Leftrightarrow \dfrac{-\cos (A+B)}{\cos A.\cos B}+\dfrac{-\cos (B+C)}{\cos B.\cos C}+\dfrac{-\cos (C+A)}{\cos C.\cos A} \geq \dfrac{\cos A.\cos B +\cos B.\cos C+\cos C.\cos A}{\cos A.\cos B.\cos C}$

    $\Leftrightarrow \dfrac{\cos C}{\cos A.\cos B}+\dfrac{\cos A}{\cos B.\cos C}+\dfrac{\cos B}{\cos C.\cos A} \geq \dfrac{\cos A.\cos B +\cos B.\cos C+\cos C.\cos A}{\cos A.\cos B.\cos C}$

    $\Leftrightarrow \cos^2 A+\cos^2 B+\cos^2 C\geq \cos A.\cos B +\cos B.\cos C+\cos C.\cos A$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này