Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 8 của 8
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10

  2. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    1
    Trích dẫn Gửi bởi Duy Hoài Xem bài viết
    Tính giới hạn \[\lim\;\dfrac{1+2^n+\ldots +n^n}{n^n}\]
    Dễ thấy $\lim\dfrac{k^{n}}{n^{n}}=\lim (\dfrac{k}{n})^{n}=0\qquad \forall k<n$

    Thêm nữa $\lim\dfrac{n^{n}}{n^{n}}=1$

    Vậy $\lim\dfrac{1+2^n+\ldots +n^n}{n^n}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\lim\dfrac{k^{n}}{n^{n}}+\lim\dfrac{n^{n}}{n^{n} }=0+1=1$
    Sửa lần cuối bởi onthitoan.com; 20/08/14 lúc 03:06 PM.
    Kính-Mũ cối-Bút-Đèn pin

  4. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên Chính Thức Duy Hoài's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10
    Trích dẫn Gửi bởi onthitoan.com Xem bài viết
    Dễ thấy $\lim\dfrac{k^{n}}{n^{n}}=\lim (\dfrac{k}{n})^{n}=0\qquad \forall k<n$

    Thêm nữa $\lim\dfrac{n^{n}}{n^{n}}=1$

    Vậy $\lim\dfrac{1+2^n+\ldots +n^n}{n^n}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\lim\dfrac{k^{n}}{n^{n}}+\lim\dfrac{n^{n}}{n^{n} }=0+1=1$
    Bạn giải sai bét rồi! , giới hạn của tổng là tổng các giới hạn chỉ đúng khi tổng đó có hữu hạn hạng tử thôi. Bạn nên học lại kiến thức căn bản đi

  6. Cám ơn Popeye, Trần Duy Tân đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    17
    Trích dẫn Gửi bởi onthitoan.com Xem bài viết
    Dễ thấy $\lim\dfrac{k^{n}}{n^{n}}=\lim (\dfrac{k}{n})^{n}=0\qquad \forall k<n$

    Thêm nữa $\lim\dfrac{n^{n}}{n^{n}}=1$

    Vậy $\lim\dfrac{1+2^n+\ldots +n^n}{n^n}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\lim\dfrac{k^{n}}{n^{n}}+\lim\dfrac{n^{n}}{n^{n} }=0+1=1$
    Chào bạn, cảm ở bạn vì 1 lời giải thú vị thế này, mình không biết bạn học giải tích đến đâu r mà lại nghĩ ra lời giải độc đáo thế.
    Mình nghĩ cái tên của bạn không phù hợp vs khả năng của bạn. tks.

  8. Cám ơn Popeye, Trần Duy Tân đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    24
    Bài viết
    6
    Cám ơn (Đã nhận)
    3
    Xét 2 dãy số $\left\{ \begin{array}{l}
    \left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty = \sum\limits_{i = 1}^n {{i^i}} \\
    \left\{ {{y_n}} \right\}_{n = 1}^\infty = {n^n}
    \end{array} \right.$ nhận thấy rằng: dãy $\left\{ {{y_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ là dãy tăng và tiến về vô cùng hơn nữa:
    \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}} - {x_n}}}{{{y_{n + 1}} - {y_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}} - {n^n}}} = 1\]
    Do đó:
    \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = 1 \Rightarrow L = 1\]

  10. Cám ơn Trần Duy Tân đã cám ơn bài viết này
  11. #6
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    39
    Bài viết
    7
    Cám ơn (Đã nhận)
    4
    Trích dẫn Gửi bởi minh_khtn Xem bài viết
    Xét 2 dãy số $\left\{ \begin{array}{l}
    \left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty = \sum\limits_{i = 1}^n {{i^i}} \\
    \left\{ {{y_n}} \right\}_{n = 1}^\infty = {n^n}
    \end{array} \right.$ nhận thấy rằng: dãy $\left\{ {{y_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ là dãy tăng và tiến về vô cùng hơn nữa:
    \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_{n + 1}} - {x_n}}}{{{y_{n + 1}} - {y_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^{n + 1}} - {n^n}}} = 1\]
    Do đó:
    \[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = 1 \Rightarrow L = 1\]
    Bạn giải sai rồi, ko có chuyện $x_{n+1}-x_n=(n+1)^{n+1}$ đâu

  12. Cám ơn minh_khtn đã cám ơn bài viết này
  13. #7
    Thành Viên Chính Thức
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    24
    Bài viết
    6
    Cám ơn (Đã nhận)
    3
    Ừ bài này không dùng Stolz được

  14. #8
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    38
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi Duy Hoài Xem bài viết
    Tính giới hạn \[\lim\;\dfrac{1+2^n+\ldots +n^n}{n^n}\]
    Lời giải đây..

    Hàm số $f(x)=\dfrac{\ln (1-x)}{x}$, là hàm nghịch biến trên $(0;\,1)$ nên dãy $e_n=\left ( 1-\frac{k}{n} \right )^n=e^{kf\left ( \frac{k}{n} \right )}$ cũng vậy, vì thế dãy $\dfrac{1^n+2^n\ldots +n^n}{n^n}=\sum_{k=0}^{n}\left ( 1-\frac{k}{n} \right )^n$ là một dãy tăng ngặt, nó lại bị chặn bởi $\sum_{k=0}^{\infty}e^{-k}=\frac{e}{e-1}$, nên hội tụ đến $l$. Từ $(*)$, lấy giới hạn $n$ chạy ra $\infty$ có\[l\le \lim\,\sum_{i=0}^{n}e^{-i}=\frac{e}{e-1};\;(1)\] Bây giờ để ý rằng, với mỗi $k\in\mathbb Z^+$ có\[l=\lim\,\frac{1^n+2^n\ldots +n^n}{n^n}\geq\lim\,\frac{n^n+\dots+(n-k)^n}{n^n}=\sum_{i=0}^{k}\lim\,\left (1-\frac{i}{n} \right )^n=\sum_{i=0}^{k}e^{-i}\]Từ đó, cho $k$ chạy ra $\infty$ có\[l\geq\lim\,\sum_{i=0}^{k}e^{-i}=\frac{e}{e-1};\;(2)\]Cuối cùng, các đánh giá $(1)$ và $(2)$ cho ta\[\lim\,\frac{1^n+2^n\ldots +n^n}{n^n}=\frac{e}{e-1}\]

  15. Cám ơn Viet_1846 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này