Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    hà tĩnh
    Ngày sinh
    11-19-1999
    Bài viết
    583
    Cám ơn (Đã nhận)
    884


    Chứng minh rằng với mọi số thực dương tùy ý a,b,c,d ta luôn có :
    $\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{d+a}\geq 0$

  2. Cám ơn quỳnh như đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator Lê Đình Mẫn's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Lệ Thủy-QB
    Bài viết
    76
    Cám ơn (Đã nhận)
    127
    Trích dẫn Gửi bởi lequangnhat20 Xem bài viết
    Chứng minh rằng với mọi số thực dương tùy ý a,b,c,d ta luôn có :
    $\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{d+a}\geq 0$
    Vì $(a-b)(c-d)+(a-b)(d-c)=0$ nên không giảm tổng quát ta có thể giả sử $(a-b)(c-d)\ge 0$. Khi đó
    $$\dfrac{a-d}{b+d}+ \dfrac{b-c}{a+c}+ \dfrac{c-a}{b+c}+ \dfrac{d-b}{a+d}= \dfrac{(a-b)(c-d)(a+b)(a+b+c+d)}{(a+c)(a+d)(b+c)(b+c)}\ge 0\ (1)$$
    $$\dfrac{d-b}{b+c}+ \dfrac{c-a}{a+d}+ \dfrac{a-c}{b+c}+ \dfrac{b-d}{a+d}= \dfrac{(a+d-b-c)^2}{(a+d)(b+c)}\ge 0\ (2)$$
    Cộng (1) và (2) theo vế ta có điều phải chứng minh!

  4. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Moderator Popeye's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Hà Nội
    Ngày sinh
    10-12-1994
    Bài viết
    72
    Cám ơn (Đã nhận)
    95
    Trích dẫn Gửi bởi lequangnhat20 Xem bài viết
    Chứng minh rằng với mọi số thực dương tùy ý a,b,c,d ta luôn có :
    $\frac{a-d}{b+d}+\frac{d-b}{c+b}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{d+a}\geq 0$
    Cộng 4 vào 2 vế, bất đẳng thức đầu đúng nếu bất đẳng thức sau là đúng
    $$\dfrac{a+b}{b+d}+\dfrac{c+d}{c+b}+\dfrac{b+a}{c+ a}+\dfrac{c+d}{d+a}\ge 4$$
    $$\iff (c+d)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+d}\right)+(a +b)\left(\dfrac{1}{b+d}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge 4$$
    Sử dụng bdt quen thuộc $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge \dfrac{4}{x+y}$ ta có ngay điều cần chứng minh
    IF YOU'RE GOOD AT SOMETHING, NEVER DO IT FOR FREE

  6. Cám ơn lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này