Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10

  2. Cám ơn nightfury đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    26
    Bài viết
    25
    Cám ơn (Đã nhận)
    35
    Bạn có thể dùng kết quả về bài toán chia kẹo Euler.
    Nothing Is Impossible.

  4. Cám ơn nightfury đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator 2M's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    38
    Bài viết
    51
    Cám ơn (Đã nhận)
    93
    Trích dẫn Gửi bởi analysis90 Xem bài viết
    Bạn có thể dùng kết quả về bài toán chia kẹo Euler.
    Tất nhiên là có thể dùng bài toán chia kẹo, nhưng như thế phải xét rất nhiều trường hợp và sẽ là thảm họa nếu thay 19 bởi một số lớn hơn.

    Đây là lời giải tổng quát cho bài toán này [Bạn cần đăng nhập hoặc để xem nội dung]

  6. Cám ơn nightfury đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Nhiệt Huyết nightfury's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    17
    Bài viết
    119
    Cám ơn (Đã nhận)
    97
    Cho em trích bài thầy Nguyễn Song Minh về diễn đàn cho các anh chị tiện theo dõi

    Bổ Đề. Cho các số nguyên dương $m$ và $k$, với $k≤9m$. Khi đó số các số nguyên dương có $m$ chữ số, mà mỗi số có tổng các chữ số bằng $k$ là:

    $$N\left( {m;\,k} \right) = \sum\limits_{0 \le j \le \left\lfloor {\frac{k}{{10}}} \right\rfloor ;\,m} {\left( {C_m^jC_{m + k - 10j - 1}^{k - 10j} - C_{m - 1}^jC_{m + k - 10j - 2}^{k - 10j}} \right)}.$$

    Bài toán áp dụng. Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1.000.000 mà tổng các chữ số bằng 19?

    _______________________***_______________________

    Chứng minh Bổ Đề. Mỗi số nguyên dương thỏa mãn yêu cầu như vậy sẽ có dạng $\overline {{d_1}{d_2} \ldots {d_m}}$

    $$\begin{cases}{d_1} \in \left\{ {1;\,2;\, \ldots ,9} \right\}\\{d_2};\,{d_3}; \ldots ;\,{d_m} \in \left\{ {0;\,1;\,2;\, \ldots ,9} \right\}\\d_1+d_2+\ldots+d_m=k\end{cases}$$

    Gọi P(m;k) là số các bộ $d_1;\,{d_2};\,\ldots ;\,{d_m} \in \left\{ {0;\,1;\,2;\, \ldots ,9} \right\}$ , ta có số lượng các số cần tính chính là

    $$N(m;\,k)=P(m;\,k)-P(m-1;\,k).$$

    Do vậy ta quy bài toán về tính $P(m;k)$. Nhận xét rằng nếu $d_1;\,{d_2};\,\ldots ;\,{d_m} \in \left\{ {0;\,1;\,2;\, \ldots ,9} \right\}$ thỏa $d_1+d_2+\ldots+d_m=k$ thì

    $${x^{{d_1}}}{x^{{d_2}}} \ldots {x^{{d_m}}} = {x^k}$$

    Cho nên theo quy tắc nhân đa thức $P(m;k)$ chính là hệ số của $x^k$ sau khai triển và rút gọn của đa thức

    $$p\left( x \right) = \underbrace {\left( {1 + x + {x^2} + \ldots + {x^9}} \right)\left( {1 + x + {x^2} + \ldots + {x^9}} \right) \ldots \left( {1 + x + {x^2} + \ldots + {x^9}} \right)}_{m\,\,\text{nhân}\;\text{tử}}$$

    Mặt khác, ta lại có $1 + x + {x^2} + \ldots + {x^9} = \dfrac{{1 – {x^{10}}}}{{1 – x}}$ cho nên là

    $$p\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{1 - {x^{10}}}}{{1 - x}}} \right)^m} = \dfrac{{{{\left( {1 - {x^{10}}} \right)}^m}}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^m}}}$$

    Chúng ta lại thấy rằng ${\left( {1 – {x^{10}}} \right)^m} = C_{m}^0 – C_{m}^1{x^{10}} + \ldots +(-1)^m C_{m}^{m}{x^{10m}}$ và thêm nữa

    $$\dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^m}}} = \sum\limits_{l = 0}^\infty {C_{m + l - 1}^l{x^l} = } 1 + C_m^1x + C_{m + 1}^2{x^2} + \ldots + C_{m + n - 1}^n{x^n} + \ldots$$

    Vì vậy, hệ số của $x^k$ sau khai triển của $p(x)$ chính là hệ số của $x^k$ sau khai triển của đa thức

    $$q\left( x \right) = \left( {1 + C_m^1x + C_{m + 1}^2{x^2} + \ldots + C_{m + k - 1}^k{x^k}} \right)\left( {C_{m}^0 - C_{m}^1{x^{10}} + \ldots +(-1)^m C_{m}^{m}{x^{10m}}} \right)$$

    Theo quy tắc nhân đa thức, thì hệ số của $x^k$ sau khai triển của $q(x)$ chính là

    $$P\left( {m;\,k} \right) = \sum\limits_{0 \le j \le \left\lfloor {\frac{k}{{10}}} \right\rfloor ;\,m} (-1)^j{C_{m}^jC_{m + k - 10j - 1}^{k - 10j}}.$$

    Vậy, số các số cần tìm chính là

    $$N\left( {m;\,k} \right) = P\left( {m;\,k} \right) - P\left( {m - 1;\,k} \right) = \sum\limits_{0 \le j \le \left\lfloor {\frac{k}{{10}}} \right\rfloor ;\,m} {(-1)^j\left( {C_m^jC_{m + k - 10j - 1}^{k - 10j} - C_{m - 1}^jC_{m + k - 10j - 2}^{k - 10j}} \right)}.$$

    Lời giải cho bài toán áp dụng. Một số thỏa yêu cầu như vậy không có quá 6 chữ số và cũng ít nhất có hai chữ số, cho nên kết quả sẽ là

    $$N = \sum\limits_{m = 2}^6 {\left( {P\left( {m;\,19} \right) - P\left( {m - 1;\,19} \right)} \right)} = P\left( {6;\,19} \right) - P\left( {1;\,19} \right)$$

    Rõ ràng $P(1;19)=0$ do đó

    $$N = P\left( {6;\,19} \right) = \sum\limits_{0 \le j \le \left\lfloor {\frac{{19}}{{10}}} \right\rfloor ;\,6} (-1)^j{C_{6}^jC_{24 - 10j}^{19 - 10j}} = \sum\limits_{0 \le j \le \,1} {(-1)^jC_{6}^jC_{24 - 10j}^{19 - 10j}} = C_{6}^0C_{24}^{19} - C_{6}^1C_{14}^9$$

  8. Cám ơn analysis90, Popeye, tinilam đã cám ơn bài viết này
  9. #5
    Super Moderator
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    26
    Bài viết
    25
    Cám ơn (Đã nhận)
    35
    Một lời giải hoàn toàn bằng hàm sinh.
    Nothing Is Impossible.

  10. Cám ơn tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này