Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304


    Tìm giá trị lớn nhất của $M$ sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
    $$a^3+b^3+c^3-3abc \ge M (ab^2+bc^2+ca^2-3abc)$$
    (Turkey National Olympiad Second Round 2013) Đáp số $ M:=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$

  2. Cám ơn chihao đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Tìm giá trị lớn nhất của $M$ sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ ta có
    $$a^3+b^3+c^3-3abc \ge M (ab^2+bc^2+ca^2-3abc)$$ (1)
    (Turkey National Olympiad Second Round 2013) Đáp số $ M:=\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$
    Trong (1) lấy $c=0$ ta được $a^{3}+b^{3}\geq Mab^{2}$
    Ta lại có: $a^{3}+b^{3}=a^{3}+\frac{b^{3}}{2}+\frac{b^{3}}{2} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}ab^{2}$
    Như vậy $M\leq \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$. Do đó $M= \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$ là giá trị $M$ cần tìm.
    Bây giờ ta chứng minh BĐT trên đúng với $M= \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$
    Giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Đặt $a=u+c$ ; $b=v+c$
    Ta chứng minh:
    $\left ( u+c \right )^{3}+\left ( v+c \right )^{3}-3c\left ( u+c \right )\left ( v+c \right )$
    $\geq M\left [ \left ( u+c \right )\left ( v+c \right )^{2}+\left ( v+c \right )c^{2}+c^{2}\left ( u+c \right )-3c\left ( u+c \right )\left ( v+c \right ) \right ]$
    $\Leftrightarrow c\left ( 3-M \right )\left ( u^{2}-uv+v^{2} \right )+u^{3}+v^{3}-Muv^{2}\geq 0$
    Điều này luôn đúng vậy ta có điều phải chứng minh
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  4. Cám ơn khanhsy đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Bước cuối cùng không tương đương. Phải là $$c(3-M)(u^2+v^2-uv)+u^3+v^3-Muv^2\ge 0$$

  6. #4
    Moderator thuanlqd's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    116
    Cám ơn (Đã nhận)
    109
    Trích dẫn Gửi bởi khanhsy Xem bài viết
    Bước cuối cùng không tương đương. Phải là $$c(3-M)(u^2+v^2-uv)+u^3+v^3-Muv^2\ge 0$$
    Em đánh thiếu. em đã sửa
    Hello mọi người !!!

    Mời mọi người ghé thăm My Blog

  7. #5
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    19
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    1
    Một bài trong vô số bài có cách giải tương tự:
    Tìm k lớn nhất sao cho bất đẳng thưc sau đúng với mọi $a, b, c$ không âm.
    $a^3+b^3+c^3-3abc\geq k(a-b)(b-c)(c-a)$

  8. Cám ơn khanhsy đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này