Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 5 của 5
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    921

  2. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    \sqrt {{x^2} + \left( {2y - 1} \right)\left( {x - y} \right)} + \sqrt {xy} = 2y\\
    x\left( {2x + 2y - 5} \right) + y\left( {y - 3} \right) + 3 = 0
    \end{array} \right.$



    Từ pt đầu suy ra $ y\ge0 $. Pt cuối cần có
    \[ \Delta_y\ge0\iff (2x-3)^2-4(2x^2-5x+3)\ge0\iff\frac 12\le x\le \frac 32. \]

    Nhận thấy pt đầu đúng khi $ x=y $, ta biến đổi nó như sau: Bình phương hai vế
    \begin{align*}
    &(2y-1)(x-y)=(2y-\sqrt{xy})^2-x^2\\
    \iff &(2y-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=-(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+2y)\quad (1)\\
    \iff&\left [\begin{array}{l} \sqrt{x}-\sqrt{y}=0\\(2y-1)(\sqrt{x}+\sqrt{y})+(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+2y)=0\quad (*)\end{array}\right.
    \end{align*}

    $ \bullet $ Nếu $ y\ge\frac12 $ hoặc $ y\ge x\Longrightarrow 2y-1\ge0 $, vì thế
    \[ (1)\iff \sqrt{x}-\sqrt{y}=0\iff x=y. \]
    Thay vào pt cuối thu được pt bậc hai theo $ x $, có nghiệm $ 1;\frac35 $.

    $ \bullet $ Cuối cùng, xét trường hợp $ \begin{cases}
    x\ge y\\ 0\le y\le\frac12
    \end{cases} $. Khi đó, từ pt đầu suy ra
    \begin{align*}
    2y\ge \sqrt{x^2+(2y-1)(x-y)}+\sqrt{y^2}&\iff (y-x) (x+3 y-1)\ge0\\
    &\Longrightarrow x+3y-1\le0.
    \end{align*}

    \begin{align*}
    x+y+1&=2x^2+y^2+2xy-4x-2y+4\\
    &=2(x^2-2x+1)+y^2+2xy+2(1-y)>0
    \end{align*}
    Sử dụng các điều này,
    \begin{align*}
    VT(*)&=(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+4y-1)-\sqrt{y}(2y-1)\\
    &=(\sqrt{x}+2\sqrt{y})[(x+3y-1)+\sqrt{y}(\sqrt{y}-\sqrt{x})]-\sqrt{y}(2y-1)\\
    &\le \sqrt{y}(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{x})-\sqrt{y}(2y-1)\\
    &=\sqrt{y}\left [(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{y}-\sqrt{x})-(2y-1)\right ]\\
    &=\sqrt{y}(-x-\sqrt{xy}+1)\\
    &\le \sqrt{y}(-x-y+1)\le0\quad (2)
    \end{align*}
    Dấu bằng trong $ (2) $ có khi $ x=1,y=0 $.
    Sửa lần cuối bởi Tran Le Quyen; 16/09/14 lúc 08:19 PM.

  3. Cám ơn cuong18041998, chihao đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    Từ pt đầu suy ra $ y\ge0 $. Từ pt cuối phải có $ \Delta_x\ge0\iff y>\frac{4+4\sqrt{2}}{8}>1 $.

    Nhận thấy pt đầu đúng khi $ x=y $, ta biến đổi nó như sau: Bình phương hai vế
    \begin{eqnarray}
    (2y-1)(x-y)=(2y-\sqrt{xy})^2-x^2\\
    \iff (2y-1)(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=-(\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+2y)
    \end{eqnarray}
    Để ý rằng với $ y>1 $ ta có $ 2y-1>0 $, vì thế \[ (2)\iff \sqrt{x}-\sqrt{y}=0\iff x=y. \]
    Thay vào pt cuối thu được pt bậc hai theo $ x $. Nghiệm hệ $ (1,1);(\frac 35,\frac 35) $
    Còn nghiệm $(1;0)$ đâu em?

  5. Cám ơn Tran Le Quyen, cuong18041998, tinilam đã cám ơn bài viết này
  6. #4
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Trích dẫn Gửi bởi letrungtin Xem bài viết
    Còn nghiệm $(1;0)$ đâu em?
    Đã sửa. Hi vọng được xem một lời giải gọn hơn.

  7. #5
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    271
    Cám ơn (Đã nhận)
    450
    Trích dẫn Gửi bởi Tran Le Quyen Xem bài viết
    Đã sửa. Hi vọng được xem một lời giải gọn hơn.
    Hệ có nghiệm khi $x\ge 0, y\ge 0$
    Với $y=0$, ta có $x=1$.
    Với $y> 0$:
    Từ phương trình thứ hai ta có: $x+3y-1=2(x-1)^2+2xy+y^2>0$
    Phương trình thứ nhất tương đương
    $$\begin{array}{ll}&(x-y)\left( \dfrac{x+3y-1}{\sqrt{x^2 + ( 2y - 1)(x - y)}+y}+\dfrac{y}{\sqrt{xy}+y} \right)=0\\
    \Leftrightarrow& y=x \end{array}$$
    Thế $y=x$ vào phương trình thứ hai, ta có $$\begin{array}{ll}& 5x^2-8x+3=0\\
    \Leftrightarrow& \left[\begin{array}\ x=\dfrac{3}{5}\Rightarrow y=\dfrac{3}{5}\\
    x=1\Rightarrow y=1\end{array}\right. \end{array}$$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này