Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 3 của 3
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Sử dụng công cụ lượng giác giải các bài toán sau

    Bài toán 1
    :
    Cho ba số thực dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    $Q = \frac{a}{{a + bc}} + \frac{b}{{b + ca}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{c + ab}}$

  2. #2
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    274
    Cám ơn (Đã nhận)
    454
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Sử dụng công cụ lượng giác giải các bài toán sau

    Bài toán 1
    :
    Cho ba số thực dương $a,b,c$ thay đổi thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$
    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    $Q = \frac{a}{{a + bc}} + \frac{b}{{b + ca}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{c + ab}}$
    Đặt $x=\sqrt{\dfrac{bc}{a}}, y=\sqrt{\dfrac{ca}{b}}, z=\sqrt{\dfrac{ab}{c}}$. Suy ra: $xy=c, yz=a, zx=b$
    Từ điều kiện, ta có $xy+yz+zx=1\quad (*)$, và $Q=\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{z}{1+z ^2}$
    Đặt $x=\tan{\alpha}, y=\tan{\beta}, z=\tan{\gamma}$ với $\alpha,\beta,\gamma\in\left( 0;\dfrac{\pi}{2} \right)$
    Từ $(*)\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow \gamma=\dfrac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)$
    Lúc này, ta được $$\begin{array}{ll}Q&=\cos^2{\alpha}+\cos^2{\beta} +\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha+\beta)\\
    &\le 1+\cos(\alpha+\beta)\left(1+\sqrt{1-\cos^2{(\alpha+\beta)}}\right)
    \end{array}$$
    Đặt $t=\cos(\alpha+\beta))$, điều kiện $t\in[-1;1]$ và $f(t)=1+t\left(1+\sqrt{1-t^2}\right)$
    Khi đó $Q\le f(t)\le f\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)=1+\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$
    Dấu đẳng thức xảy ra khi $\alpha=\beta=\dfrac{\pi}{12}, \gamma=\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow x=y=2-\sqrt{3}, z=\sqrt{3}\Rightarrow a=b=\sqrt{21-12\sqrt{3}}, c=7-4\sqrt{3}$

  3. Cám ơn lequangnhat20, chihao đã cám ơn bài viết này
  4. #3
    Ban Quản Trị letrungtin's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Trường THPT Hồng Ngự 2, Đồng Tháp
    Tuổi
    31
    Bài viết
    274
    Cám ơn (Đã nhận)
    454
    Bài 2. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng
    $$27\left( a(b^2-1)(c^2-1)+b(c^2-1)(a^2-1)+c(a^2-1)(b^2-1) \right) \le 4(a+b+c)^2$$

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này