Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    89


    Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    $$P=\dfrac{xy}{3x+4y+2z}+\dfrac{yz}{3y+4z+2x}+ \dfrac {zx}{3z+4x+2y}$$
    Sửa lần cuối bởi tinilam; 19/09/14 lúc 10:22 PM.

  2. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    Super Moderator Tran Le Quyen's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    Bến Tre
    Bài viết
    468
    Cám ơn (Đã nhận)
    620
    Theo AM-GM
    \[ (3x+4y+2z)(3x+2y+4z)\le9(x+y+z)^2. \]
    Suy ra
    \begin{align}
    \sum\frac{xy}{3x+4y+2z}&=\sum\frac{xy(3x+2y+4z)}{( 3x+4y+2z)(3x+2y+4z)}\\
    &\le\frac{\sum xy(3x+2y+4z)}{9(x+y+z)^2}=\frac{\sum xy(3x+2y+4z)}{81}
    \end{align}
    Ta luôn có
    \begin{eqnarray}
    \sum xy(3x+2y+4z)\le (x+y+z)^3.
    \end{eqnarray}
    vì bđt này tương đương với
    \[ \sum x^3+\sum xy^2\ge 6xyz. \]
    Vậy $ P\le \frac 13 $.

  4. Cám ơn lequangnhat20,  $T_G$, khanhsy đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Bài của bạn bị lỗi hàng thứ ba Tran Le Quyen

  6. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Super Moderator khanhsy's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Bài viết
    161
    Cám ơn (Đã nhận)
    304
    Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi thỏa mãn x+y+z=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
    $$P=\dfrac{xy}{3x+4y+2z}+\dfrac{yz}{3y+4z+2x}+ \dfrac{zx}{3z+4x+2y}$$
    $3x+4y+2z=2(x+y+z)+x+2y$ tương ứng tỷ lệ trọng số $6/1/2$
    Theo CauChy-Schwarz ta có:
    $$[2(x+y+z)+x+2y]\left(\dfrac{18}{x+y+z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y} \right)\ge (6+1+2)^2$$
    Vậy nên ta có:
    $$\dfrac{18}{x+y+z}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y} \ge \dfrac{81}{3x+4y+2z}$$
    Suy ra:
    $$81P \le \dfrac{18(xy+yz+zx)}{x+y+z} +3(x+y+z) \ \ (*)$$
    Lại áp dụng CauChy-Schwarz thì:
    $$xy+yz+zx \le \dfrac{(x+y+z)^2}{3}$$
    Do đó từ $(*)$ suy ta:
    $$81P \le \dfrac{6(x+y+z)^2}{x+y+z} +3(x+y+z)=27$$
    Vậy nên $\min P=\dfrac{1}{3}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1.^{\huge{\boxed{}}}$

  8. Cám ơn Tran Le Quyen đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này