Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    54
    Bài viết
    675
    Cám ơn (Đã nhận)
    921


    Bài toán 1:
    Cho hàm số $y = {x^3} + 2m{x^2} - 3x$ (1) và đường thẳng $(\Delta ):y = 2mx - 2$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để đường thẳng $(\Delta )$ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng $\sqrt {17} $ (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).


    Bài toán 2:
    Cho hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ có đồ thị (C) và đường thẳng d:$y = - 2x + m$ Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực $m$. Gọi ${k_1},$ ${k_2}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A B. Tìm $m$ để P =${\left( {{k_1}} \right)^{2013}} + {\left( {{k_2}} \right)^{2013}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức Nguyễn Kiên's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    21
    Bài viết
    21
    Cám ơn (Đã nhận)
    39
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 1:
    Cho hàm số $y = {x^3} + 2m{x^2} - 3x$ (1) và đường thẳng $(\Delta ):y = 2mx - 2$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để đường thẳng $(\Delta )$ và đồ thị hàm số (1) cắt nhau tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho diện tích tam giác OBC bằng $\sqrt {17} $ (với A là điểm có hoành độ không đổi và O là gốc toạ độ).
    Để $\left ( \Delta \right )$ cắt đồ thị hàm số $(1)$ khi và chỉ khi $m \neq 0$ , khi đó tọa độ các giao điểm là : $A\left ( 1 ; 2m - 2 \right ) , B\left ( x_1 ; 2mx_1 - 2 \right ) , C\left ( x_2 ; 2mx_2 - 2 \right )$ trong đó $x_1 ; x_2$ thỏa mãn hệ thức Viet : $x_1 + x_2 = - 2m - 1 ; x_1x_2 = - 2$

    Tam giác $OBC$ có diện tích $S = \frac{1}{2}BC.d\left ( O ; BC \right )$ , với $d\left ( O ; BC \right ) = d\left ( O ; \Delta \right ) = \frac{2}{\sqrt{1 + 4m^2}}$

    Và : $BC^2 = \left ( 4m^2 + 1 \right )\left [ (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 \right ] = (\sqrt{\left ( 4m^2 + 1 \right )\left ( 4m^2 + 4m + 9 \right )})^2$

    Từ đó suy ra : $S = \sqrt{17} = \sqrt{4m^2 + 4m + 9} \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = - 2$
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán 2:
    Cho hàm số $y = \frac{{2x + 3}}{{x + 2}}$ có đồ thị (C) và đường thẳng d:$y = - 2x + m$ Chứng minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực $m$. Gọi ${k_1},$ ${k_2}$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A B. Tìm $m$ để P =${\left( {{k_1}} \right)^{2013}} + {\left( {{k_2}} \right)^{2013}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
    Với mọi $m$ thì $d$ luôn cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến tại $A,B$ lần lượt là : $k_1 = \frac{1}{\left ( x_1 + 2 \right )^2} , k_2 = \frac{1}{\left ( x_2 + 2 \right )^2}$ trong đó $x_1$ ; $x_2$ thỏa mãn hệ thức Viet của phương trình : $2x^2 + (6 - m)x + 3 - 2m = 0$

    Ta thấy rằng : $k_1.k_2 = \frac{1}{\left ( x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4 \right )^2} = 4$ và $k_1$ ; $k_2 > 0$ nên theo BĐT Cauchy ta có :

    $\left ( k_1 \right )^{2013} + \left ( k_2 \right )^{2013} \geq 2\sqrt{\left (k_1.k_2 \right )^{2013}} = 2^{2014}$, do đó suy ra $Min = 2^{2014}$ , dấu = xảy ra khi và chỉ khi $k_1$ = $k_2$ tức là $m = - 2$ là giá trị cần tìm.

  3. Cám ơn chihao, tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này