Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 4 của 4
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    730
    Cám ơn (Đã nhận)
    938


    Bài toán: Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn $xyz = 2\sqrt 2 $
    Chứng minh rằng:

    $\frac{{{x^8} + {y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} + \frac{{{y^8} + {z^8}}}{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}} + \frac{{{z^8} + {x^8}}}{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}} \ge 8$

  2. Cám ơn HongAn39, caoominhh đã cám ơn bài viết này
  3. #2
    $\boxed{\star \bigstar \star}$ HongAn39's Avatar
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Đến từ
    TP HCM
    Bài viết
    87
    Cám ơn (Đã nhận)
    198
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn $xyz = 2\sqrt 2 $
    Chứng minh rằng:

    $\frac{{{x^8} + {y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} + \frac{{{y^8} + {z^8}}}{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}} + \frac{{{z^8} + {x^8}}}{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}} \ge 8$
    Ta có: \[\left\{\begin{matrix} x^4+x^2y^2+y^4 \leq \frac{3(x^4+y^4)}{2}\\ x^8+y^8 \geq \frac{(x^4+y^4)^2}{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{{{x^8} + {y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} \geq \frac{x^4+y^4}{3}\]
    Tương tự suy ta: \[\frac{{{x^8} + {y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} + \frac{{{y^8} + {z^8}}}{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}} + \frac{{{z^8} + {x^8}}}{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}} \\ \geq \frac{2(x^4+y^4+z^4)}{3} \geq 2\sqrt[3]{x^4y^4z^4} = 8\]
    Điều phải chứng minh !

  4. Cám ơn chihao,  $T_G$ đã cám ơn bài viết này
  5. #3
    Thành Viên
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Cao Lãnh, Đồng Tháp
    Tuổi
    20
    Bài viết
    1
    Cám ơn (Đã nhận)
    2
    Ta có
    \[\begin{array}{l}
    \frac{{{x^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} + \frac{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}}{9} \ge \frac{{2{x^4}}}{3};\frac{{{y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} + \frac{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}}{9} \ge \frac{{2{y^4}}}{3}\\
    \frac{{{y^8}}}{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}} + \frac{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}}{9} \ge \frac{{2{y^4}}}{3};\frac{{{z^8}}}{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}} + \frac{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}}{9} \ge \frac{{2{z^4}}}{3}\\
    \frac{{{z^8}}}{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}} + \frac{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}}{9} \ge \frac{{2{z^4}}}{3};\frac{{{x^8}}}{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}} + \frac{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}}{9} \ge \frac{{2{x^4}}}{3}
    \end{array}\]
    Cộng các vế rồi đơn giản, ta có
    \[\frac{{{x^8} + {y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}} + \frac{{{y^8} + {z^8}}}{{{y^4} + {z^4} + {y^2}{z^2}}} + \frac{{{x^8} + {z^8}}}{{{z^4} + {x^4} + {z^2}{x^2}}} \ge \frac{8}{9}({x^4} + {y^4} + {z^4}) - \frac{2}{9}({x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}) \ge \frac{2}{3}({x^4} + {y^4} + {z^4}) \ge 2\sqrt[3]{{{x^4}{y^4}{z^4}}} = 8\]

  6. Cám ơn chihao, lequangnhat20 đã cám ơn bài viết này
  7. #4
    Thành Viên Chính Thức Runaway's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Đến từ
    Nghệ An
    Ngày sinh
    12-27-1997
    Bài viết
    15
    Cám ơn (Đã nhận)
    10
    Theo AM-GM:
    $\sum \frac{{{x^8} + {y^8}}}{{{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}}}\geq \frac{2}{3}\sum x^{4}y^{4}\geq 8$
    Cuộc sống như một chiếc tàu lượn, nó đưa bạn lên xuống tới chóng mặt, nhưng bạn có quyền lựa chọn hoảng sợ la hét hay rèn luyện cho mình gan dạ hơn và tận hưởng chuyến đi trong niềm vui thích

 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này