Học Toán cùng BoxMath
Đăng ký
Tìm kiếm tùy chỉnh
Web
Kết quả 1 đến 2 của 2
  1. #1
    Ngày tham gia
    Aug 2014
    Tuổi
    55
    Bài viết
    735
    Cám ơn (Đã nhận)
    942


    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    3xy\left( {1 + \sqrt {9{y^2} + 1} } \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}\\
    {x^3}(9{y^2} + 1) + 4({x^2} + 1)\sqrt x = 10
    \end{array} \right.$

  2. #2
    Thành Viên Chính Thức Nguyễn Kiên's Avatar
    Ngày tham gia
    Sep 2014
    Tuổi
    22
    Bài viết
    21
    Cám ơn (Đã nhận)
    39
    Trích dẫn Gửi bởi chihao Xem bài viết
    Bài toán: Giải hệ phương trình

    $\left\{ \begin{array}{l}
    3xy\left( {1 + \sqrt {9{y^2} + 1} } \right) = \frac{1}{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}\\
    {x^3}(9{y^2} + 1) + 4({x^2} + 1)\sqrt x = 10
    \end{array} \right.$
    Điều kiện : $x \geq 0$. Nhận xét : $x = 0$ không là nghiệm của hệ phương trình. Ta có :
    $$pt\left ( 1 \right ) \Leftrightarrow 3y + 3y\sqrt{\left ( 3y \right )^2 + 1} = \frac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right )^2 + 1}$$
    Với $x > 0$ suy ra $y > 0$. Xét hàm số $f\left ( t \right ) = t + t\sqrt{t^2 + 1}$ với $t > 0$ , ta có :

    $f'\left ( t \right ) = 1 + \sqrt{t^2 + 1} + \frac{t^2}{\sqrt{t^2 + 1}} > 0$ suy ra $f(t)$ luôn đồng biến trên $\left ( 0 ; + \infty \right )$ mà $$f\left ( 3y \right ) = f\left ( \frac{1}{\sqrt{x}} \right ) \Rightarrow 3y = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
    Thế vào phương trình hai ta được : $g\left ( x \right ) = x^3 + x^2 + 4\left ( x^2 + 1 \right )\sqrt{x} - 10 = 0$. Để ý rằng với mọi $x > 0$ thì $g'(x) > 0$ và $g\left ( 1 \right ) = 0$ nên $x = 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

    Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left ( x ; y \right ) = \left ( 1 ; \frac{1}{3} \right )$. DONE !!!

  3. Cám ơn chihao, tinilam đã cám ơn bài viết này
 

 

Thông tin về chủ đề này

Users Browsing this Thread

Có 1 người đang xem chủ đề. (0 thành viên và 1 khách)

Tag của Chủ đề này